esunmomento.es

Estás en... Ciencia > Matemáticas

Ernst Zermelo

Matemático alemán que vivió entre 1871 y 1953. Zermelo inició sus trabajos matemáticos con pruebas de que todo conjunto puede estar bien ordenado, apelando al axioma de elección.

    La contribución principal de Zermelo Fue su axiomatización de la teoría de los conjuntos, que constituye el primer sistema axiomático de teoría de conjuntos, con siete axiomas:

el axioma de extensionalidad (o determinabilidad),

el axioma de conjuntos elementales,

el axioma de separación,

el axioma del conjunto-potencia,

el axioma de unión,

el axioma de elección

y el axioma de infinitud o de lo infinito.

Zermelo identificó la raíz de las antinomias que habían sacudido la construcción de Georg Cantor en el uso del principio de comprensión, es decir, en la asunción de que a toda condición determinada le corresponde un determinado conjunto (que debería contener únicamente a todas las entidades que satisfacen la condición). Al restringir, o precisar, considerablemente el dominio de conjuntos respecto a Cantor, Zermelo pudo evitar las paradojas que habían llevado a muchos matemáticos y lógicos a descartar completamente la teoría cantoriana.

    Este principio lo reemplazó Zermelo por uno más restringido que permite aislar (concepto matemáticamente expresado), a través de la imposición de una determinada condición, un subconjunto de un conjunto ya dado, y, además, con un axioma que garantiza la existencia de ciertos conjuntos elementales.

    A partir de entonces, la reconstrucción de la teoría de los conjuntos se desarrolla sobre la base de la denominada estructura acumulativa de los tipos. A partir de un dominio D de individuos (es decir, no-conjuntos), se procede, a través de las operaciones definidas por los axiomas, a la construcción de conjuntos de individuos, en consecuencia de conjuntos de conjuntos de individuos, y así sucesivamente.

Entre los otros axiomas, es particularmente importante el axioma de elección, que afirma la existencia, para cada conjunto x de conjuntos no vacíos y disyuntivos de dos en dos, de un conjunto que tiene exactamente un elemento  en común con todo elemento de x. Cantor lo había usado ya, si bien inadvertidamente, y a ello se habían referido ya Beppo Levi y Giuseppe Peano.

    Corresponde a Ernst Zermelo el mérito de haberlo introducido explícitamente en 1904, cuando lo empleó en su primera prueba del teorema del buen ordenamiento, y, además, el de haberlo defendido respecto a las objeciones de los predicativistas (es plausible sobre la base de la estructura acumulativa de los tipos).

    Perfeccionado el sistema axiomático de Zermelo, en los primeros años veinte del siglo XX, por Abraham Adolf Fraenkel y por Thoralf Skolem, en la actualidad es utilizado por la casi totalidad de los matemáticos como una base para la teoría de los conjuntos y para toda la matemática.

Luis Imedio

¬ 09/11/2009